【小学奥数补习班】小学奥数数论问题完全平方数练习题【六篇】
主题阅读 点击： 2018-12-28
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【篇一】
一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解答：设此自然数为x，依题意可得
x-45=m^2; (1)
x+44=n^2 (2)
(m,n为自然数)
(2)-(1)可得 :
n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89
因为n+m>n-m
又因为89为质数，
所以：n+m=89; n-m=1
解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。
【篇二】
求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数
解答：形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即
或在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
证明 若，则
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
若，则
因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
综上所述，不可能是完全平方数。
【篇三】
求满足下列条件的所有自然数：
(1)它是四位数。(2)被22除余数为5。(3)它是完全平方数
解答：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
11|N - 4或11|N + 4
或
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
k = 5
所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
【篇四】
决断下列各数哪几个数是完全平方数：486，1156，4128。
解：486=4×121+2，因为形如4k+2的数肯定不是完全平方数，所以486不是完全平方数。
如果1156是平方数，设A2=1156，则A的个位数字为4或6，因为302<1156<352,342=1156，所以1156是完全平方数。
因为完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9这6个数字中的一个，所以4128不是完全平方数。
答：1156是完全平方数。
例2：在20~1000中，有多少个完全平方数。
解：因为52＝25，312＝961，322＝1024，所以在20~1000之间的完全平方数个数有 31-5+1=27
答：有27个完全平方数。
【篇五】
甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元?
解答:n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。
【篇六】
求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方
解答：设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证
是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
证明 设这四个整数之积加上1为m，则
m为平方数
而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数;又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。
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